小张的博客

# 一维随机变量

# 离散型

密度函数：分布律

分布函数：

# 连续型

密度函数：

分布函数：

# 性质

# 分布规律

# 离散型

  • 单点分布（必然事件）：必成功
  • 两点分布（伯努利实验）：成功或失败
  • 均匀分布（古典概型）：等可能事件，即
  • 几何分布（事件A在第X次实验中首次发生）：
  • 二项分布（n次伯努利实验中成功K次）：
  • 泊松分布（事件发生的次数x）：，其中为期望（等同于二项中的np）
  • 超几何分布（抽次品，不放回，而二项分布是放回）：

# 连续型

  • 指数分布：由离散型泊松分布推导得到

  • 均匀分布

    p(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b \\ 0,& 其它 \end{cases}

  • 正态分布

    服从正态分布的随机变量x记作。其中为中轴线，当为0，为1时，称为标准正态分布。标准正太分布表。 对可以变换为，变换方式为：

# 函数分布

①使用分布函数最后转化为密度函数

②直接使用密度函数转化，连续型存在有公式：若x的密度函数严格单调，则

# 二维随机变量

# 定义

由两个随机变量X,Y组成的向量(X,Y)称作二维随机变量，描述与一维类似。存在分布律、概率密度、分布函数。

# 边缘分布函数

二维随机变量(X,Y)中，分量X和分量Y相对于联合分布的分布函数为它们的边缘分布函数。连续型边缘分布函数和边缘密度函数： 边缘分布函数：边缘密度函数，为联合密度函数：

# 两随机变量的独立性

定义：若两个随机变量X,Y相互独立，那么。即：边缘分布函数的乘积等于联合分布函数；边缘密度函数乘积等于联合密度函数。

# 两随机变量的条件分布

本质上就是条件概率，使用分布函数来描述。举例：

# 二维随机变量函数分布

  • 若为离散型，直接列表或者合并
  • 若为连续型，算

结论：若，则；若X和Y都服从正态分布，则。

# 随机变量的数字特征

# 随机变量的数学期望

​ 即随机变量取值的加权平均。

  • 离散型：（本质上为无穷级数）
  • 连续型：（本质上为广义积分）

​ 上述级数/积分只有绝对收敛，即加了绝对值后还收敛的话，则数学期望才会存在。

0-1分布 二项分布 几何分布 泊松分布 指数分布 正态分布 均匀分布
p np

积分结论：存在概率积分

函数的数学期望：直接将x换为f（x）

# 数学期望的性质

  • 常数的期望是其本身
  • 求期望时，随机变量的常系数可以直接提出
  • 随机变量之和的期望即期望之和
  • 若两随机变量相互独立，则随机变量之积的期望即期望之积

# 随机变量的方差

方差与标准差都是恒正的。基本定义：，即随机变量偏离其期望的平方值的期望。

  • 离散型：
  • 连续型：

推导公式：

0-1分布 二项分布 几何分布 泊松分布 指数分布 正态分布 均匀分布
p(1-p) np(1-p)

# 方差的性质

  • 常数的方差为0；方差为0的随机变量为常数
  • 若两随机变量相互独立，则，不管求和还是差，都等于方差的和。
  • 切比雪夫不等式：存在期望，，则对于任意正数，

# 随机变量的矩

随机变量x的k阶原点矩即为的数学期望；k阶中心距为。

一阶原点矩为方差，二阶中心矩为方差。

# 随机变量的协方差与相关系数

针对二维随机变量，仅靠期望或者方差难以刻画，因此需要引入协方差。

对于随机变量X和Y，协方差为。

协方差的性质：

  • ----独立的协方差为0

相关系数：

。表示线性相关，若为0，则不相关；若为正数，正相关；若为负数，负相关；绝对值越大，相关性越高。

# 极限定理

# 随机变量序列

依概率收敛：随机变量序列的通项为，若存在另一个随机变量Y，对于任意小的正数，总有 则称随机变量序列{}依概率收敛于随机变量Y。

依分布收敛：随机变量序列通项的分布函数为，若有另一个随机变量Y(其分布函数为F(x))，使得当时，收敛到，即 则称随机变量序列依分布收敛于随机变量Y。

r阶收敛： 几乎处处收敛：

# 大数定律

  • 切比雪夫大数定律
  • 辛钦大数定律
  • 伯努利大数定律

# 中心极限定理

什么情况下符合正态分布。

# 数理统计

# 基本概念

样本观测值：n维随机变量

# 常用统计分布

  • 分布
  • t分布
  • F分布

# 抽样分布

# 参数估计

# 参数点估计

  • 矩估计
  • 最大似然估计

# 参数量的优良性

无偏性

有效性

相合性

# 参数的区间估计

正态总体的参数区间估计

# 假设检验

基本概念

正态总体参数的假设检验：单个正态总体，两个正态总体。